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已知抛物线_已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,|PF|=4.(Ⅰ)求抛

新客网 XKER.COM 时间:2017-04-13 16:51:11  评论:

题目:

已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,|PF|=4.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ) 设点A(x1,y1),B(x2,y2)(yi≤0,i=1,2)是抛物线上的两点,∠APB的角平分线与x轴垂直,求△PAB的面积最大时直线AB的方程.

答案:

(I)∵|PF|=4,∴xP+
P
2
=4,
∴P点的坐标是(4-
P
2
,4),
∴有16=2P(4-
P
2
)?P=4,
∴抛物线方程是y2=8x.
(II)由(I)知点P的坐标为(2,4),
∵∠APB的角平分线与x轴垂直,∴PA、PB的倾斜角互补,即PA、PB的斜率互为相反数,
设PA的斜率为k,则PA:y-4=k(x-2),k≠0
y2=8x
y-4=k(x-2)
?y2-
8
k
y-16+
32
k
=0
,方程的解为4、y1
由韦达定理得:y1+4=
8
k
,即y1=
8
k
-4,同理y2=-
8
k
-4,
kAB=
y1-y2
x1-x2
=
8
y1+y2
=-1,
设AB:y=-x+b,
y2=8x
y=-x+b
?y2+8y-8b=0,
由韦达定理得:y1+y2=-8,y1y2=-8b,
|AB|=
1+1
|y1-y2|=8
b+2
,点P到直线AB的距离d=
|6-b|
2

S△ABP=2
2
×
(b+2)(6-b)2
,设b+2=t
则(b+2)(b2-12b+36)=t3-32t-64-(3t-8)(t-8),
∵△=64+32b>0?b>-2,y1?y2=-8b≥0?b≤0,∴-2<b≤0,
设t=b+2∈(0,2],
则(b+2)(b2-12b+36)=t3-16t2+64t=f(t),
f(t)=3t2-32t-64=(3t-8)(t-8),
由t∈(0,2]知f(t)>0,∴f(t)在(0,2]上为增函数,
∴f(t)最大=f(2)=72,
∴△PAB的面积的最大值为2
2
×
72
=24,
此时b=0,直线AB的方程为x+y=0.

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